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viernes, 13 de julio de 2007

Álgebra de Boole

Se llama Álgebra de Boole al conjunto de relaciones lógicas que se pueden tener entre proposiciones binarias. O para ser más claros, son las reglas lógicas para saber si una frase compleja es cierta o falsa, a partir de la veracidad de las proposiciones simples de las que se compone.

En la vida real, las proposiciones no son del todo ciertas ni falsas nunca. Y peor aún es con los enunciados complejos que de ellas construyamos. Así, la proposición "Estados Unidos hizo bien al lanzar la bomba atómica sobre Hiroshima" no se puede reputar ni como cierta ni como falsa, ya que hay argumentos concretos, veraces e irrefutables a favor de ambas opciones.

Y con los enunciados complejos, la cosa aún empeora. El discurso de un Presidente del Gobierno en el Debate sobre el Estado de la Nación es, simplemente, indecidible.

Sin embargo, el álgebra de Boole es fundamental, pues es la base misma de la programación informática, y más aún, de los fundamentos de la lógica humana.

En ella, la operación más sencilla es la Negación. Dada una proposición o un enunciado, decidido como cierto o falso, su negación tendrá el otro valor de verdad. Si "este cuadrado es rojo" es cierto, "este cuadrado no es rojo" es falso, y viceversa. Habitualmente, la negación no se pone en el orden lógico de la gramática común, sino delante del enunciado completo que resulta negado: "no [es cierto que] este cuadrado es rojo".

Claro está, ni la Negación ni ninguna otra operación que nos inventemos que actúe sobre un enunciado (en realidad sólo hay una más) nos permitirá crear enunciados más complejos. Necesitamos operaciones que actúen sobre dos enunciados.

Y de estas, la primera que viene a la mente es la Unión. Dados dos enunciados, su unión solamente será verdadera si ambos los son a la vez. En cualquier otro caso, la unión reputará falsa. Si "este cuadrado es brillante" es cierto y además "este cuadrado es rojo" es también cierto, "este cuadrado es brillante y rojo" también es cierto. Pero si no es rojo o no es un brillante o ninguna de las dos cosas, el enunciado completo será falso.
La necesidad de que ambas condiciones sean ciertas a la vez para la veracidad del enunciado es fundamental, determinante en la manera de pensar occidental. Para aprobar la asignatura es necesario aprobar los exámenes y las prácticas. Para contratar una hipoteca es necesario un sueldo de más del doble de la mensualidad prevista y un contrato fijo. La imposición de varias condiciones a fin de dar una respuesta positiva es parte de nuestra cultura.

Pero aparte de las condiciones necesarias, existen en nuestra vida las condiciones suficientes, reguladas en el Álgebra de Boole por la Disyunción. Dados dos enunciados, su disyunción será verdadera a menos que ambos sean falsos a la vez. Si "este cuadrado es brillante" es cierto, no importa que "este cuadrado es rojo" lo sea o no para dar por cierto el enunciado "este cuadrado es brillante o rojo". Y si no es cierto, el enunciado completo sigue siendo cierto con tal de que "este cuadrado es rojo" lo sea.
La vía de dar más de una manera de cumplir un enunciado es el complemento mental natural de la rigidez de los enunciados que utilizan la Unión. Para aprobar la asignatura es necesario aprobar los parciales o el final, o ambos, lo mismo da. Para contratar un alquiler es necesario un contrato fijo o un avalista, o ambos, lo mismo da. La opcionalidad de las condiciones, es decir, su suficiencia, y no su necesidad, hacen la vida soportable.

Matemáticamente, sin embargo, la Unión y la Disyunción son operaciones completamente equivalentes, una es el reflejo simétrico de la otra, hasta el punto de que, por medio de la Negación, podemos transformar una en la otra. Ello es tanto así, que se puede explicitar una Unión sin usarla, utilizando tan sólo la Negación y la Disyunción, y viceversa:
"Este cuadrado es brillante y rojo" se puede expresar también como "Es falso que este cuadrado no es brillante o no es rojo".

En principio parece que ambas frases no son equivalentes, de hecho, que no tienen nada que ver, y sin embargo son la misma. Analicémoslas con cuidado.

Supongamos que el cuadrado es rojo y es brillante. El primer enunciado es claramente cierto. Para el segundo, tenemos que al ser el cuadrado rojo, la parte "...este cuadrado no es rojo..." es falsa, y al ser el cuadrado brillante, la parte "...no es brillante" es también falsa. Como ambas partes son falsas, la disyunción completa es falsa: "este cuadrado no es brillante o no es rojo" es falso, que es justamente el contenido del enunciado completo, que resulta verdadero, al igual que el primer enunciado.
Supongamos ahora que el cuadrado no es rojo ni brillante. El primer enunciado es claramente falso, analicemos el segundo. La parte "...este cuadrado no es rojo..." es verdadera, lo cual es suficiente para que lo sea la disyunción completa "este cuadrado no es brillante o no es rojo". Como es cierto, resulta que el enunciado completo "Es falso que este cuadrado no es brillante o no es rojo" es falso, igual que el primer enunciado.
Para finalizar, supongamos que sólo una de de las dos proposiciones menores es cierta: tenemos un cuadrado rojo pero no brillante. El primer enunciado es falso, ya que no se cumplen ambas condiciones de la unión. Veamos el segundo. La parte "...este cuadrado no es rojo..." es verdadera igual que en el caso anterior, lo cual es suficiente para que lo sea la disyunción completa "este cuadrado no es brillante o no es rojo", llegando al mismo resultado de falsedad que en el caso anterior, y también el mismo que el del primer enunciado.

De esta manera hemos demostrado, como ya hiciera De Morgan, que una unión de dos proposiciones puede expresarse sin utilizar la operación de unión, con tan sólo utilizar la operación de disyunción y la de negación.

El problema viene cuando en el discurso se utilizan proposiciones ciertas y se combinan mediante estas operaciones, pero las conclusiones que se presentan a la audiencia como obtenidas lógicamente no son las que se obtendrían realizando correctamente las operaciones.

Así, podemos ver a veces, en el discurso político, conclusiones interesadamente falsas obtenidas mediante la aplicación arteramente incorrecta de las reglas anteriores.

La única defensa contra ello es revisar la validez de las conclusiones que se pretenden obtenidas mediante la lógica.

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